Понятие волновая функция. Волновая функция и ее статистический смысл. Условие нормировки волновой функции

Волнова́я фу́нкция , или пси-фу́нкция ψ {\displaystyle \psi } - комплекснозначная функция , используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы . Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx}

где | x ⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ {\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle } - координатный базисный вектор, а Ψ (x , t) = ⟨ x | ψ (t) ⟩ {\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle } - волновая функция в координатном представлении.

Нормированность волновой функции

Волновая функция Ψ {\displaystyle \Psi } по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции , заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} и Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}} при любых комплексных c 1 {\displaystyle c_{1}} и c 2 {\displaystyle c_{2}} .

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}} .

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента c n {\displaystyle {c}_{n}} определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ n {\displaystyle {\Psi }_{n}} .

Поэтому для нормированных волновых функций ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1} .

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

Волновая функция в различных представлениях используется состояния в различных представлениях - будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

В этой статье описывается волновая функция и ее физический смысл. Также рассматривается применение этого понятия в рамках уравнения Шредингера.

Наука на пороге открытия квантовой физики

В конце девятнадцатого века молодых людей, которые хотели связать свою жизнь с наукой, отговаривали становиться физиками. Бытовало мнение, что все явления уже открыты и великих прорывов в этой области уже не может быть. Сейчас, несмотря на кажущуюся полноту знаний человечества, подобным образом говорить никто не решится. Потому что так бывает часто: явление или эффект предсказаны теоретически, но людям не хватает технической и технологической мощи, чтобы доказать или опровергнуть их. К примеру, Эйнштейн предсказал более ста лет назад, но доказать их существование стало возможным лишь год назад. Это касается и мира (а именно к ним применимо такое понятие, как волновая функция): пока ученые не поняли, что строение атома сложное, у них не было необходимости изучать поведение таких маленьких объектов.

Спектры и фотография

Толчком к развитию квантовой физики стало развитие техники фотографии. До начала двадцатого века запечатление изображений было делом громоздким, долгим и дорогостоящим: фотоаппарат весил десятки килограммов, а моделям приходилось стоять по полчаса в одной позе. К тому же малейшая ошибка при обращении с хрупкими стеклянными пластинами, покрытыми светочувствительной эмульсией, приводила к необратимой потере информации. Но постепенно аппараты становились все легче, выдержка - все меньше, а получение отпечатков - все совершеннее. И наконец, стало возможно получить спектр разных веществ. Вопросы и несоответствия, которые возникали в первых теориях о природе спектров, и породили целую новую науку. Основой для математического описания поведения микромира стали волновая функция частицы и её уравнение Шредингера.

Корпускулярно-волновой дуализм

После определения строения атома, возник вопрос: почему электрон не падает на ядро? Ведь, согласно уравнениям Максвелла, любая движущаяся заряженная частица излучает, следовательно, теряет энергию. Если бы это было так для электронов в ядре, известная нам вселенная просуществовала бы недолго. Напомним, нашей целью является волновая функция и ее статистический смысл.

На выручку пришла гениальная догадка ученых: элементарные частицы одновременно и волны, и частицы (корпускулы). Их свойствами являются и масса с импульсом, и длина волны с частотой. Кроме того, благодаря наличию двух ранее несовместимых свойств элементарные частицы приобрели новые характеристики.

Одной из них является трудно представимый спин. В мире более мелких частиц, кварков, этих свойств настолько много, что им дают совершенно невероятные названия: аромат, цвет. Если читатель встретит их в книге по квантовой механике, пусть помнит: они совсем не то, чем кажутся на первый взгляд. Однако как же описать поведение такой системы, где все элементы обладают странным набором свойств? Ответ - в следующем разделе.

Уравнение Шредингера

Найти состояние, в котором находится элементарная частица (а в обобщенном виде и квантовая система), позволяет уравнение :

i ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.

Обозначения в этом соотношении следующие:

• ħ=h/2 π, где h - постоянная Планка.
• Ĥ - Гамильтониан, оператор полной энергии системы.

Изменяя координаты, в которых решается эта функция, и условия в соответствии с типом частицы и поля, в котором она находится, можно получить закон поведения рассматриваемой системы.

Понятия квантовой физики

Пусть читатель не обольщается кажущейся простотой использованных терминов. Такие слова и выражения, как «оператор», «полная энергия», «элементарная ячейка», - это физические термины. Их значения стоит уточнять отдельно, причем лучше использовать учебники. Далее мы дадим описание и вид волновой функции, но эта статья носит обзорный характер. Для более глубокого понимания этого понятия необходимо изучить математический аппарат на определенном уровне.

Волновая функция

Ее математическое выражение имеет вид

|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.

Волновая функция электрона или любой другой элементарной частицы всегда описывается греческой буквой Ψ, поэтому иногда ее еще называют пси-функцией.

Для начала надо понять, что функция зависит от всех координат и времени. То есть Ψ(x, t) - это фактически Ψ(x 1 , x 2 … x n , t). Важное замечание, так как от координат зависит решение уравнения Шредингера.

Далее необходимо пояснить, что под |x> подразумевается базисный вектор выбранной системы координат. То есть в зависимости от того, что именно надо получить, импульс или вероятность |x> будет иметь вид | x 1 , x 2 , …, x n >. Очевидно, что n будет также зависеть от минимального векторного базиса выбранной системы. То есть в обычном трехмерном пространстве n=3. Для неискушенного читателя поясним, что все эти значки около показателя x - это не просто прихоть, а конкретное математическое действие. Понять его без сложнейших математических выкладок не удастся, поэтому мы искренне надеемся, что интересующиеся сами выяснят его смысл.

И наконец, необходимо объяснить, что Ψ(x, t)=.

Физическая сущность волновой функции

Несмотря на базовое значение этой величины, она сама не имеет в основании явления или понятия. Физический смысл волновой функции заключается в квадрате ее полного модуля. Формула выглядит так:

|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,

где ω имеет значение плотности вероятности. В случае дискретных спектров (а не непрерывных) эта величина приобретает значение просто вероятности.

Следствие физического смысла волновой функции

Такой физический смысл имеет далеко идущие последствия для всего квантового мира. Как становится понятно из значения величины ω, все состояния элементарных частиц приобретают вероятностный оттенок. Самый наглядный пример - это пространственное распределение электронных облаков на орбиталях вокруг атомного ядра.

Возьмем два вида гибридизации электронов в атомах с наиболее простыми формами облаков: s и p. Облака первого типа имеют форму шара. Но если читатель помнит из учебников по физике, эти электронные облака всегда изображаются как некое расплывчатое скопление точек, а не как гладкая сфера. Это означает, что на определенном расстоянии от ядра находится зона с наибольшей вероятностью встретить s-электрон. Однако чуть ближе и чуть дальше эта вероятность не нулевая, просто она меньше. При этом для p-электронов форма электронного облака изображается в виде несколько расплывчатой гантели. То есть существует достаточно сложная поверхность, на которой вероятность найти электрон самая высокая. Но и вблизи от этой «гантели» как дальше, так и ближе к ядру такая вероятность не равна нулю.

Нормировка волновой функции

Из последнего следует необходимость нормировать волновую функцию. Под нормировкой подразумевается такая «подгонка» некоторых параметров, при которой верно некоторое соотношение. Если рассматривать пространственные координаты, то вероятность найти данную частицу (электрон, например) в существующей Вселенной должна быть равна 1. Формула выгладит так:

ʃ V Ψ* Ψ dV=1.

Таким образом, выполняется закон сохранения энергии: если мы ищем конкретный электрон, он должен быть целиком в заданном пространстве. Иначе решать уравнение Шредингера просто не имеет смысла. И неважно, находится эта частица внутри звезды или в гигантском космическом войде, она должна где-то быть.

Чуть выше мы упоминали, что переменными, от которых зависит функция, могут быть и непространственные координаты. В таком случае нормировка проводится по всем параметрам, от которых функция зависит.

Мгновенное передвижение: прием или реальность?

В квантовой механике отделить математику от физического смысла невероятно сложно. Например, квант был введен Планком для удобства математического выражения одного из уравнений. Теперь принцип дискретности многих величин и понятий (энергии, момента импульса, поля) лежит в основе современного подхода к изучению микромира. У Ψ тоже есть такой парадокс. Согласно одному из решений уравнения Шредингера, возможно, что при измерении квантовое состояние системы изменяется мгновенно. Это явление обычно обозначается как редукция или коллапс волновой функции. Если такое возможно в реальности, квантовые системы способны перемещаться с бесконечной скоростью. Но ограничение скоростей для вещественных объектов нашей Вселенной непреложно: ничто не может двигаться быстрее света. Явление это зафиксировано ни разу не было, но и опровергнуть его теоретически пока не удалось. Со временем, возможно, этот парадокс разрешится: либо у человечества появится инструмент, который зафиксирует такое явление, либо найдется математическое ухищрение, которое докажет несостоятельность этого предположения. Есть и третий вариант: люди создадут такой феномен, но при этом Солнечная система свалится в искусственную черную дыру.

Волновая функция многочастичной системы (атома водорода)

Как мы утверждали на протяжении всей статьи, пси-функция описывает одну элементарную частицу. Но при ближайшем рассмотрении атом водорода похож на систему из всего лишь двух частиц (одного отрицательного электрона и одного положительного протона). Волновые функции атома водорода могут быть описаны как двухчастичные или оператором типа матрицы плотности. Эти матрицы не совсем точно являются продолжением пси-функции. Они скорее показывают соответствие вероятностей найти частицу в одном и другом состоянии. При этом важно помнить, что задача решена только для двух тел одновременно. Матрицы плотности применимы к парам частиц, но невозможны для более сложных систем, например при взаимодействии трех и более тел. В этом факте прослеживается невероятное подобие между наиболее «грубой» механикой и очень «тонкой» квантовой физикой. Поэтому не стоит думать, что раз существует квантовая механика, в обычной физике новых идей не может возникнуть. Интересное скрывается за любым поворотом математических манипуляций.

корпускулярно -- волновым дуализмом в квантовой физике состояние частицы описывается при помощи волновой функции ($\psi (\overrightarrow{r},t)$- пси-функция).

Определение 1

Волновая функция -- это функция, которая используется в квантовой механике. Она описывает состояние системы, которая имеет размеры в пространстве. Она является вектором состояния.

Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами. Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны. То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.

Набор аргументов волновой функции определяет ее представление. Так, возможно координатное представление: $\psi(\overrightarrow{r},t)$, импульсное представление: $\psi"(\overrightarrow{p},t)$ и т.д.

В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.

Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:

где $\psi^*$- комплексно сопряженная функция к функции $\psi.$ Плотность вероятности (вероятность в единице объёма) равна:

Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).

Условие нормировки $\psi$- функции

Волновая функция определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Данный факт не оказывает влияния на состояние частицы, которую $\psi$- функция описывает. Однако волновую функцию выбирают таким образом, что она удовлетворяет условию нормировки:

где интеграл берут по всему пространству или по области, в которой волновая функция не равна нулю. Условие нормировки (2) значит то, что во всей области, где $\psi\ne 0$ частица достоверно присутствует. Волновую функцию, которая подчинятся условию нормировки, называют нормированной. Если ${\left|\psi\right|}^2=0$, то данное условие означает, что частицы в исследуемой области наверняка нет.

Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.

Условие нормировки может оказаться не осуществимым. Так, если $\psi$ -- функция является плоской волной де-Бройля и вероятность нахождения частицы является одинаковой для всех точек пространства. Данные случаи рассматривают как идеальную модель, в которой частица присутствует в большой, но имеющей ограничения области пространства.

Принцип суперпозиции волновой функции

Данный принцип является одним их основных постулатов квантовой теории. Его смысл в следующем: если для некоторой системы возможны состояния, описываемые волновыми функциями $\psi_1\ {\rm и}\ $ $\psi_2$, то для этой системы существует состояние:

где $C_{1\ }и\ C_2$ -- постоянные коэффициенты. Принцип суперпозиции подтверждается эмпирически.

Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:

где ${\left|C_n\right|}^2$ -- вероятность того, что система обнаруживается в состоянии, которое описывается волновой функцией $\psi_n.$ Для волновых функций, подчиненных условию нормировки (2) выполняется условие:

Стационарные состояния

В квантовой теории особую роль имеют стационарные состояния (состояния в которых все наблюдаемые физические параметры не изменяются во времени). (Сама волновая функция принципиально не наблюдаема). В стационарном состоянии $\psi$- функция имеет вид:

где $\omega =\frac{E}{\hbar }$, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ не зависит от времени, $E$- энергия частицы. При виде (3) волновой функции плотность вероятности ($P$) является постоянной времени:

Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Математические требования к волновой функции для стационарных состояний

$\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$- функция должна быть во всех точках:

• непрерывна,
• однозначна,
• конечна.

Если потенциальная энергия имеет поверхность разрыва, то на подобных поверхностях функция $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где потенциальная энергия становится бесконечной, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ должна быть равна нулю. Непрерывность функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ требует, чтобы на любой границе этой области $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)=0$. Условие непрерывности накладывается на частные производные от волновой функции ($\frac{\partial \psi}{\partial x},\ \frac{\partial \psi}{\partial y},\frac{\partial \psi}{\partial z}$).

Пример 1

Задание: Для некоторой частицы задана волновая функция вида: $\psi=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}$, где $r$ -- расстояние от частицы до центра силы (рис.1), $a=const$. Примените условие нормировки, найдите нормировочный коэффициент A.

Рисунок 1.

Решение:

Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:

\[\int{{\left|\psi\right|}^2dV=\int{\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),}}\]

где $dV=4\pi r^2dr$ (см.рис.1 Из условий понятно, что задача обладает сферической симметрией). Из условий задачи имеем:

\[\psi=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}\to \psi^*=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}\left(1.2\right).\]

Подставим $dV$ и волновые функции (1.2) в условие нормировки:

\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{A^2}{r^2}e^{-{2r}/{a}}4\pi r^2dr=1\left(1.3\right).}\]

Проведем интегрирование в левой части:

\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{A^2}{r^2}e^{-{2r}/{a}}4\pi r^2dr=2\pi A^2a=1\left(1.4\right).}\]

Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:

Ответ: $A=\sqrt{\frac{1}{2\pi a}}.$

Пример 2

Задание: Каково наиболее вероятное расстояние ($r_B$) электрона от ядра, если волновая функция, которая описывает основное состояние электрона в атоме водорода может быть определена как: $\psi=Ae^{-{r}/{a}}$, где $r$- расстояние от электрона до ядра, $a$ -- первый Боровский радиус?

Решение:

Используем формулу, которая определяет вероятность присутствия микрочастицы в объеме $dV$ в момент времени $t$:

где $dV=4\pi r^2dr.\ $Следователно, имеем:

В таком случае, $p=\frac{dP}{dr}$ запишем как:

Для определения наиболее вероятного расстояния производную $\frac{dp}{dr}$ приравняетм к нулю:

\[{\left.\frac{dp}{dr}\right|}_{r=r_B}=8\pi rA^2e^{-{2r}/{a}}+4\pi r^2A^2e^{-{2r}/{a}}\left(-\frac{2}{a}\right)=8\pi rA^2e^{-{2r}/{a}}\left(1-\frac{r}{a}\right)=0(2.4)\]

Так как решение $8\pi rA^2e^{-{2r_B}/{a}}=0\ \ {\rm при}\ \ r_B\to \infty $, нам не подходит, то отсается:

Для описания корпускулярно-волновых свойств электрона в квантовой механике используют волновую функцию, которая обозначается греческой буквой пси (Т). Главные свойства волновой функции таковы:

• в любой точке пространства с координатами х, у, z она имеет определенные знак и амплитуду: ЧДд:, у , г);
• квадрат модуля волновой функции | ЧДх, y,z) | 2 равен вероятности нахождения частицы в единице объема, т.е. плотности вероятности.

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от ядра атома изображают несколькими способами. Часто ее характеризуют числом точек в единице объема (рис. 9.1, а). Точечное изображение плотности вероятности напоминает облако. Говоря об электронном облаке, следует иметь в виду, что электрон - это частица, проявляющая одновременно и корпускулярные, и волновые

Рис. 9.1.

свойства. Область вероятности обнаружения электрона не имеет четких границ. Однако можно выделить пространство, где вероятность его обнаружения велика или даже максимальна.

На рис. 9.1, а штриховой линией обозначена сферическая поверхность, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%. На рис. 9.1, б приведено контурное изображение электронной плотности в атоме водорода. Ближайший к ядру контур охватывает область пространства, в которой вероятность обнаружения электрона 10%, вероятность же обнаружения электрона внутри второго от ядра контура составляет 20%, внутри третьего - 30% и т.д. На рис. 9.1, в электронное облако изображено в виде сферической поверхности, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%.

Наконец, на рис. 9.1, г и б двумя способами показана вероятность обнаружения электрона Is на разных расстояниях г от ядра: вверху показан «разрез» этой вероятности, проходящий через ядро, а внизу - сама функция 4лг 2 |У| 2 .

Уравнение Шрёдингсра. Это фундаментальное уравнение квантовой механики было сформулировано австрийским физиком Э. Шрёдингером в 1926 г. Оно связывает полную энергию частицы Е, равную сумме потенциальной и кинетической энергий, потенциальную энергию?„, массу частицы т и волновую функцию 4*. Для одной частицы, например электрона массой т е, оно имеет следующий вид :

С математической точки зрения это уравнение с тремя неизвестными: У, Е и?„. Решить его, т.е. найти эти неизвестные, можно, если решать его совместно с двумя другими уравнениями (для нахождения трех неизвестных требуется три уравнения). В качестве таких уравнений используют уравнения для потенциальной энергии и граничных условий.

Уравнение потенциальной энергии не содержит волно- вую функцию У. Оно описывает взаимодействие заряженных частиц по закону Кулона. При взаимодействии одного электрона с ядром, имеющим заряд +z, потенциальная энергия равна

где г = У* 2 + у 2 + z 2 .

Это случай так называемого одноэлектронного атома. В более сложных системах, когда заряженных частиц много, уравнение потенциальной энергии состоит из суммы таких же кулоновских членов.

Уравнением граничных условий является выражение

Оно означает, что волновая функция электрона стремится к нулю на больших расстояниях от ядра атома.

Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти волновую функцию электрона? = (х, у , z) как функцию координат. Это распределение называется орбиталью.

Орбиталь - это заданная в пространстве волновая функция.

Система уравнений, включающая уравнения Шрёдингера, потенциальной энергии и граничных условий, имеет не одно, а много решений. Каждое из решений одновременно включает 4 х = (х, у , г) и Е , т.е. описывает электронное облако и соответствующую ему полную энергию. Каждое из решений определяется квантовыми числами.

Физический смысл квантовых чисел можно понять, рассмотрев колебания струны, в результате которых образуется стоячая волна (рис. 9.2).

Длина стоячей волны X и длина струны b связаны уравнением

Длина стоячей волны может иметь лишь строго определенные значения, отвечающие числу п, которое принимает только целочисленные неотрицательные значения 1,2,3 и т.д. Как очевидно из рис. 9.2, число максимумов амплитуды колебаний, т.е. форма стоячей волны, однозначно определяется значением п.

Поскольку электронная волна в атоме представляет собой более сложный процесс, чем стоячая волна струны, значения волновой функции электрона определяются не одним, а че-

Рис. 9.2.

тырьмя числами, которые называются квантовыми числами и обозначаются буквами п, /, т и s. Данному набору квантовых чисел п, /, т одновременно отвечают определенная волновая функция Ч"лДл, и полная энергия E„j. Квантовое число т при Е не указывают, так как в отсутствие внешнего поля энергия электрона от т не зависит. Квантовое число s не влияет ни на 4* п хт, ни на E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*p
• Символы --, --- означают вторые частные производные от fir1 дуг 8z2 Ч"-функции. Это производные от первых производных. Смысл первой производной совпадает с тангенсом угла наклона функции Ч" от аргумента х, уили z на графиках? = j(x), Т =/2(у), Ч" =/:!(z).

Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведенный в задаче 4.11, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по различным состояниям и, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы. Во-вторых, волновые функции для свободных частиц (плоские волны], хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как

и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путем. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям :

(4.65)

и учтем, что все или часть состояний могут принадлежать к непрерывному спектру, так что часть суммы по следует заменить интегралом. Можно математически строго получить корректное выражение для ядра , аналогичное выражению (4.62), но применимое также и в том случае, когда состояния находятся в непрерывной части спектра.

Нормировка на конечный объем . Многие физики предпочитают другой, менее строгий подход. То, что они делают, заключается в некоторой модификации исходной задачи, причем результаты (в их физическом смысле) изменятся несущественно, однако все состояния оказываются дискретными по энергии и поэтому все разложения принимают вид простых сумм. В нашем примере этого можно достичь следующим образом. Мы рассматриваем амплитуду вероятности перехода из точки в точку за конечное время. Если эти две точки находятся на некотором конечном расстоянии друг от друга и разделяющий их промежуток времени не слишком велик, то в амплитуде заведомо не будет сколько-нибудь заметных различий от того, является ли электрон действительно свободным или предполагается помещенным в какой-то очень большой ящик объемом со стенками, расположенными очень далеко от точек и . Если бы частица могла достичь стенок и вернуться назад за время , это могло бы сказаться на амплитуде; но если стенки достаточно удалены, то они никак не повлияют на амплитуду.

Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки и отраженных от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остается точно в центре идеальной сферы, может давать некий эффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности. Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещенной относительно центра этой сферы.

Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид , где принимает оба знака. Какой вид будут иметь функции , если область изменения ограничить произвольным интервалом от до ? Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения в точках и . Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область ее движения (т. е. при идеальном отражении). В этом случае в точках и . Решениями волнового уравнения

, (4.66)

соответствующими энергии в области , будут экспоненты и или любая их линейная комбинация. Как , так и не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при (где - целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечетного их полусумма (т. е. ), а в случае четного - деленная на их полуразность (т. е. ), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.

Фиг. 4.1. Вид одномерных волновых функций, нормированных в ящике.

Показаны первые четыре из них. Энергии соответствующих уровней равны , , и . Абсолютное значение энергии, которое зависит от размеров нашего фиктивного ящика, несущественно для большинства реальных задач. То, что действительно имеет значение, - это соотношение между энергиями различных состояний.

Если решения записать в виде и , то они будут нормированы, поскольку

. (4.67)

Сумма по всем состояниям является суммой по . Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т. е. четные значения ), то при небольших значениях и очень большой величине (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам функции различаются весьма незначительно. Их разность

(4.68)

приблизительно пропорциональна малой величине . Поэтому сумму по можно заменить интегралом по . Так как допустимые значения расположены последовательно с интервалом , в промежутке расположено состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами

, (4.69)

не забывая, что в конце нужно сложить результаты для обоих типов волновых функций, а именно и .

Часто бывает неудобным использовать в качестве волновых функций и , и более предпочтительными являются их линейные комбинации

и .

Однако, вводя ограниченный объем , мы вынуждены использовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях , то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид и . Поскольку волну можно рассматривать как волну , но с отрицательным значением , наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы , нормировать их на отрезке длины изменения переменной (т. е. положить ) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной таким образом, чтобы число состояний со значениями , заключенных в интервале , было равно , а само изменялось от до .

Периодические граничные условия . Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удается обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приемом, то ее конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого-нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена. Поэтому вместо физически простых условий мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты . Таковыми условиями являются

(4.70)

. (4.71)

Их называют периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности с периодом во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции являются нормированными на отрезке решениями при условии, что , где - любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль. Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше.

Что происходит в случае трех измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными , , . Используем периодические граничные условия, т. е. потребуем, чтобы значения волновой функции и ее первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой произведение

, (4.72)

где - объем ящика, и допустимыми значениями будут , и (, , - целые числа). Кроме того, число решений со значениями , , , лежащими соответственно в интервалах , , , равно произведению, нужно ввести добавочный множитель . [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.] Во-вторых, символ суммы надо заменить на интеграл . Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.

Следует отметить, что множители сокращаются, как это и должно быть, так как при ядро не должно зависеть от размера ящика.

Некоторые замечания о математической строгости . У читателя при виде того, как в конце вычислений объем сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.

Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т. е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом.

Наряду с этим математически строгое решение может быть нестрогим с физической точки зрения; иначе говоря, возможно, что ящик существует на самом деле. Им может быть не обязательно прямоугольный ящик, ведь не часто оказывается, что эксперименты ставят под звездами; чаще их проводят в комнате. Хотя физически представляется вполне разумным, что стенки не должны влиять на опыт, тем не менее такую постановку задачи надо рассматривать как идеализацию. Удаление стенок на бесконечность ничем не лучше, чем замена их достаточно далекими идеальными зеркалами. В первом случае математическая строгость также нарушается, поскольку реальные стенки находятся не на бесконечности.

Подход с привлечением удаленных стенок справедлив и строг настолько же, насколько оправдан. Он обладает несколькими преимуществами. Например, когда объем в заключительных формулах сокращается, мы видим, что несуществен по крайней мере один из аспектов идеализации - насколько стенки удалены. Этот результат интуитивно еще более убеждает нас в том, что истинное расположение реальной окружающей обстановки может быть несущественным. Наконец, полученная формула очень полезна, когда мы действительно имеем случай конечных размеров. Например, в гл. 8 мы воспользуемся ею, чтобы подсчитать число различных звуковых волн в большом блоке вещества прямоугольной формы.

С другой стороны, преимуществом математически строгого подхода является упразднение в сущности ненужной детали, которая не входит в результат. Хотя введение стенок позволяет кое-что узнать о том, почему же они все-таки ни на что но влияют, тем не менее можно убедиться в справедливости этого, не вникая при этом в детали.

Задача о нормировке волновых функций представляет собой довольно частный пример, но он иллюстрирует главное. Физик не может понять осторожности, проявляемой математиком при решении идеализированной физической задачи. Он знает, что реальная задача намного сложнее. Она уже упрощена с помощью интуиции, которая отбрасывает несущественное и аппроксимирует то, что остается.