>> Экстремумы
Экстремум функции
Определение экстремума
Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x ) > 0
(f " (x ) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f " (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие.
Пусть функция f
(x
) имеет
f "
(x
) в окрестности точки x
о
и вторую производную в самой точке x о
. Если f "
(x
о
) = 0, >0 ( <0), то точка x о
является точкой локального минимума (максимума) функции f
(x
). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .
На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22.
Решение. Так как f " (
Задачи на нахождения экстремума функции
Пример 3.23. a
Решение.
x
и y
y
0
≤ x
≤
> 0, а при x
>a
/4 S
" < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
кв
.
ед
).
Пример 3.24. p ≈
Решение.
p
p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.
Так как f
" (x
) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x
-2)(x
- 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f
(2) = 14 и минимум f
(3) = 13.
Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение.
Обозначим стороны площадки через x
и y
. Площадь площадки равна S = xy
. Пусть y
- это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y
= a
. Поэтому y
= a
- 2x и S = x
(a
- 2x), где
0
≤ x
≤ a
/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными).
S
" = a - 4x, a - 4x = 0
при
x = a/4,
откуда
y = a - 2
×
a/4 =a/2.
Поскольку x
= a
/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x
a
/4 S "
> 0, а при x
>a
/4 S
" < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв
.
ед
).
Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a
/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y
= 2x.
Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2
p
R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V =
p
R 2 Н
Þ
Н = V/
p
R 2 =16
p
/
p
R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2
p
(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S "
(R) = 2
p
(2R- 16/R 2) = 4
p
(R- 8/R 2). S
" (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Урок на тему: "Нахождение точек экстремумов функций. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.
Введение в экстремумы функций
Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:
Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого - опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:
Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.
Посмотрим на график вот такой функции:
Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 - это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 - это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).
Точки минимума и максимума
Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).
Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).
Ребята, а что такое окрестность?
Определение: Окрестность точки - множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.
Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.
Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка минимума.
Ребята, давайте введем обозначения:
Y min - точка минимума,
y max - точка максимума.
Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.
Экстремумы функции
Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.
Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.
Как же искать экстремумы функции?
Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).
Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.
Как вычислять экстремумы?
Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:
Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.
На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.
Обобщим полученные знания утверждением:
Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:
Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:
Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:
- Найти производную y’.
- Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
- Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
- По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.
Примеры нахождения точки экстремумов
1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x - x 3
Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2 ,
б) y"= 0, при x= ±2,
Точка x= -2 - точка минимума функции, точка x= 2 - точка максимума функции.
Ответ: x= -2 - точка минимума функции, x= 2 - точка максимума функции.
2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.
Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:а)
б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,
Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю:
в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 - точка минимума функции.
Ответ: x= 3 - точка минимума функции.
3) Найти точки экстремума функции y= x - 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.
Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 - точка максимума функции.
Точка x= -π/6 - точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 - точка максимума функции, x= -π/6 - точка минимума функции.
4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y"= 0 при x= ±2,в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 - точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 - точки минимума функции.
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 - 15x - 5.б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) - x при π ≤ x ≤ 3π. г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
Важным понятием в математике является функция. С её помощью можно наглядно представить многие процессы, происходящие в природе, отразить с использованием формул, таблиц и изображений на графике взаимосвязь между определёнными величинами. Примером может служить зависимость давления слоя жидкости на тело от глубины погружения, ускорения - от действия на объект определённой силы, увеличения температуры - от передаваемой энергии и многие другие процессы. Исследование функции предполагает построение графика, выяснение её свойств, области определения и значений, промежутков возрастания и убывания. Важным моментом в данном процессе является нахождение точек экстремума. О том, как правильно это делать, и пойдёт разговор далее.
О самом понятии на конкретном примере
В медицине построение графика функции может рассказать о ходе развития болезни в организме пациента, наглядно отражая его состояние. Предположим, по оси ОХ откладывается время в сутках, а по оси ОУ - температура тела человека. На рисунке хорошо видно, как этот показатель резко поднимается, а потом падает. Нетрудно заметить также особые точки, отражающие моменты, когда функция, ранее возрастая, начинает убывать, и наоборот. Это точки экстремума, то есть критические значения (максимальные и минимальные) в данном случае температуры больного, после которых наступают изменения в его состоянии.
Угол наклона
Легко можно определить по рисунку, как изменяется производная функции. Если прямые линии графика с течением времени идут вверх, то она положительна. И чем они круче, тем большее значение принимает производная, так как растет угол наклона. В периоды убывания эта величина принимает отрицательные значения, в точках экстремума обращаясь в ноль, а график производной в последнем случае рисуется параллельно оси ОХ.
Любой другой процесс следует рассматривать аналогичным образом. Но лучше всего об этом понятии может рассказать перемещение различных тел, наглядно показанное на графиках.
Движение
Предположим, некоторый объект движется по прямой, равномерно набирая скорость. В этот период изменение координаты тела графически представляет собой некую кривую, которую математик назвал бы ветвью параболы. При этом функция постоянно возрастает, так как показатели координаты с каждой секундой изменяются всё быстрей. График скорости демонстрирует поведение производной, значение которой также увеличивается. А значит, движение не имеет критических точек.
Так бы и продолжалось бесконечно долго. Но если тело вдруг решит затормозить, остановиться и начать двигаться в другом направлении? В данном случае показатели координаты начнут уменьшаться. А функция перейдёт критическое значение и из возрастающей превратится в убывающую.
На этом примере снова можно понять, что точки экстремума на графике функции появляются в моменты, когда она перестаёт быть монотонной.
Физический смысл производной
Описанное ранее наглядно показало, что производная по сути является скоростью изменения функции. В данном уточнении и заключён её физический смысл. Точки экстремума - это критические области на графике. Их возможно выяснить и обнаружить, вычислив значение производной, которая оказывается равной нулю.
Существует и другой признак, который является достаточным условием экстремума. Производная в таких местах перегиба меняет свой знак: с «+» на «-» в области максимума и с «-» на «+» в районе минимума.
Движение под влиянием силы притяжения
Представим ещё одну ситуацию. Дети, играя в мяч, бросили его таким образом, что он начал двигаться под углом к горизонту. В начальный момент скорость данного объекта являлась самой большой, но под действием силы тяжести начала уменьшаться, причём с каждой секундой на одну и ту же величину, равную приблизительно 9,8 м/с 2 . Это значение ускорения, возникающего под влиянием земной гравитации при свободном падении. На Луне оно бы было примерно в шесть раз меньше.
Графиком, описывающим перемещение тела, является парабола с ветвями, направленными вниз. Как найти точки экстремума? В данном случае это вершина функции, где скорость тела (мяча) принимает нулевое значение. Производная функции становится равной нулю. При этом направление, а следовательно, и значение скорости, меняется на противоположное. Тело летит вниз с каждой секундой всё быстрее, причём ускоряется на ту же величину - 9,8 м/с 2 .
Вторая производная
В предыдущем случае график модуля скорости рисуется как прямая. Данная линия оказывается сначала направлена вниз, так как значение этой величины постоянно убывает. Достигнув нуля в один из моментов времени, далее показатели этой величины начинают возрастать, а направление графического изображения модуля скорости кардинально меняется. Теперь линия направлена вверх.
Скорость, являясь производной от координаты по времени, тоже имеет критическую точку. В этой области функция, вначале убывая, начинает возрастать. Это место точки экстремума производной функции. В данном случае угол наклона касательной становится равным нулю. А ускорение, являясь второй производной от координаты по времени, меняет знак с «-» на «+». И движение из равнозамедленного становится равноускоренным.
График ускорения
Теперь рассмотрим четыре рисунка. На каждом из них отображён график изменения с течением времени такой физической величины, как ускорение. В случае «А» значение его остаётся положительным и постоянным. Это означает, что скорость тела, как и его координата, постоянно увеличивается. Если представить, что объект будет двигаться таким образом бесконечно долго, функция, отражающая зависимость координаты от времени, окажется постоянно возрастающей. Из этого следует, что она не имеет критических областей. Точки экстремума на графике производной, то есть линейно изменяющейся скорости, также отсутствуют.
То же касается и случая «Б» с положительным и постоянно увеличивающимся ускорением. Правда, графики для координаты и скорости здесь будут несколько сложнее.
Когда ускорение стремится к нулю
Рассматривая рисунок «В», можно наблюдать совсем другую картину, характеризующую движение тела. Скорость его графически будет изображаться параболой с ветвями, направленными вниз. Если продолжить линию, описывающую изменение ускорения до пересечения её с осью ОХ, и дальше, то можно представить, что до этого критического значения, где ускорение окажется равным нулю, скорость объекта будет увеличиваться всё медленнее. Точка экстремума производной от функции координаты окажется как раз в вершине параболы, после чего тело кардинально поменяет характер движения и начнёт двигаться в другом направлении.
В последнем случае, «Г», характер движения точно определить невозможно. Здесь известно только, что ускорение за некоторый рассматриваемый период отсутствует. Значит, объект может оставаться на месте или движение происходит с постоянной скоростью.
Задача на сложение координат
Перейдём к заданиям, которые часто встречаются при изучении алгебры в школе и предлагаются для подготовки к ЕГЭ. На рисунке, который представлен ниже, изображён график функции. Требуется вычислить сумму точек экстремума.
Сделаем это для оси ординат, определив координаты критических областей, где наблюдается изменение характеристик функции. Проще говоря, найдём значения по оси ОХ для точек перегиба, а затем перейдём к сложению полученных членов. По графику очевидно, что они принимают следующие значения: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. В сумме это составляет -21, что и является ответом.
Оптимальное решение
Не стоит объяснять, насколько может оказаться важным в выполнении практических заданий выбор оптимального решения. Ведь путей достижения цели бывает много, а наилучший выход, как правило, - всего один. Это бывает крайне необходимо, к примеру, при конструировании судов, космических кораблей и самолётов, архитектурных сооружений для нахождения оптимальной формы данных рукотворных объектов.
Быстроходность средств передвижения во многом зависит от грамотного сведения к минимуму сопротивления, которое они испытывают при перемещении по воде и воздуху, от перегрузок, возникающих под действием гравитационных сил и многих других показателей. Кораблю на море необходимы такие качества, как устойчивость во время шторма, для речного судна важна минимальная осадка. При расчётах оптимальной конструкции точки экстремума на графике наглядно могут дать представление о наилучшем решении сложной проблемы. Задачи такого плана часто решаются в экономике, в хозяйственных областях, во множестве других жизненных ситуаций.
Из античной истории
Задачи на экстремум занимали даже древних мудрецов. Греческие учёные с успехом разгадали тайну площадей и объёмов путём математических вычислений. Это они первыми поняли, что на плоскости из разнообразных фигур, обладающих одним и тем же периметром, наибольшую площадь всегда имеет круг. Аналогичным образом шар наделён максимальным объёмом среди остальных предметов в пространстве с одинаковой величиной поверхности. Решению подобных задач посвятили себя такие известнейшие личности, как Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний. Найти точки экстремума прекрасно удавалось Герону, который, прибегнув к расчётам, сооружал хитроумные устройства. К ним относились автоматы, перемещающиеся посредством пара, работающие по тому же принципу насосы и турбины.
Строительство Карфагена
Существует легенда, сюжет которой построен на решении одной из экстремальных задач. Результатом делового подхода, который продемонстрировала финикийская царевна, обратившаяся за помощью к мудрецам, стало строительство Карфагена. Земельный участок для этого древнего и прославленного города подарил Дидоне (так звали правительницу) вождь одного из африканских племён. Площадь надела не показалась ему вначале очень большой, так как по договору должна была покрываться воловьей шкурой. Но царевна повелела своим воинам разрезать её на тонкие полосы и составить из них ремень. Он получился настолько длинным, что охватил участок, где уместился целый город.
Истоки математического анализа
А теперь перенесёмся из античных времён в более позднюю эпоху. Интересно, что к осознанию основ математического анализа подтолкнула Кеплера в XVII веке встреча с продавцом вина. Торговец был настолько сведущ в своей профессии, что легко мог определить объём находящегося в бочке напитка, просто опуская туда железный жгут. Размышляя над подобным курьёзом, знаменитый учёный сумел решить для себя эту дилемму. Оказывается, искусные бочары тех времён наловчились изготавливать сосуды таким образом, чтобы при определённой высоте и радиусе окружности скрепляющих колец они имели максимальную вместимость.
Это стало для Кеплера поводом для дальнейших размышлений. Бочары пришли к оптимальному решению методом долгого поиска, ошибок и новых попыток, передавая свой опыт из поколения в поколение. Но Кеплер хотел ускорить процесс и научиться делать то же самое в короткий срок путём математических вычислений. Все его наработки, подхваченные коллегами, превратились в известные ныне теоремы Ферма и Ньютона - Лейбница.
Задача на нахождение максимальной площади
Представим, что мы имеем проволоку, длина которой равна 50 см. Как составить из неё прямоугольник, обладающий наибольшей площадью?
Начиная решение, следует исходить из простых и известных любому истин. Понятно, что периметр нашей фигуры будет составлять 50 см. Он же складывается из удвоенных длин обеих сторон. Это значит, что, обозначив за «Х» одну из них, другую возможно выразить как (25 - Х).
Отсюда получаем площадь, равную Х(25 - Х). Данное выражение можно представить как функцию, принимающую множество значений. Решение задачи требует найти максимальное из них, а значит, следует узнать точки экстремума.
Для этого находим первую производную и приравниваем её нулю. В результате получается простое уравнение: 25 - 2Х = 0.
Из него мы узнаём, что одна из сторон Х = 12,5.
Следовательно, другая: 25 - 12,5 = 12,5.
Получается, что решением задачи будет квадрат со стороной 12,5 см.
Как найти максимальную скорость
Рассмотрим ещё один пример. Представим, что существует тело, прямолинейное движение которого описывается уравнением S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, где пройденное расстояние выражается в метрах, а время в секундах. Требуется найти максимальную скорость. Как это сделать? Скачала находим скорость, то есть первую производную.
Получаем уравнение: V = - 3t 2 + 18t - 24. Теперь для решения задачи снова нужно найти точки экстремума. Сделать это необходимо тем же способом, что и в предыдущей задаче. Находим первую производную от скорости и приравниваем её к нулю.
Получаем: - 6t + 18 = 0. Отсюда t = 3 с. Это время, когда скорость тела принимает критическое значение. Подставляем полученное данное в уравнение скорости и получаем: V = 3 м/с.
Но как понять, что это именно максимальная скорость, ведь критическими точками функции могут быть наибольшие или наименьшие её значения? Для проверки необходимо найти вторую производную от скорости. Она выражается числом 6 со знаком минус. Это значит, что найденная точка является максимумом. А в случае положительного значения второй производной был бы минимум. Значит, найденное решение оказалось правильным.
Приведённые в качестве примера задачи являются лишь частью из тех, которые возможно решить, умея находить точки экстремума функции. На самом деле их гораздо больше. А подобные знания открывают перед человеческой цивилизацией неограниченные возможности.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем
с области определения:
Продифференцируем
исходную функцию:
x=1
,
то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции
и вычисляем ее значение при x
= 1
:
Следовательно,
по второму достаточному условию
экстремума, x=1
-
точка максимума. Тогда 
-
максимум функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Третье достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Пример.
Найти
точки экстремума функции 
.
Решение.
Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.
Продифференцируем
функцию:
Производная
обращается в ноль при 
,
следовательно, это точки возможного
экстремума. Воспользуемся третьим
достаточным условием экстремума.
Находим
вторую производную и вычисляем ее
значение в точках возможного экстремума
(промежуточные вычисления опустим):
Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).
Для
выяснения характера точек 
находим
третью производную и вычисляем ее
значение в этих точках:
Следовательно, - точка перегиба функции (n=2 и ).
Осталось
разобраться с точкой .
Находим четвертую производную и вычисляем
ее значение в этой точке:
Следовательно, - точка минимума функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Точка максимума, - точка минимума функции.
10. Экстремумы функции Определение экстремума
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x) 0
(f " (x) 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f " (x о) = 0, либо f (x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о) = 0, >0 (<0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Обратимся к графику функции у = х 3 – 3х 2 . Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х 3 – 3х 2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.
Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х 3 – 3х 2 , так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).
Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует окрестность точки х 0 – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х 0) для всех х из этой окрестности.
Например, точка х 0 = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х 2 , так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.
Точкой минимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует такая окрестность точки х 0 , что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х 0) для всех х из этой окрестности.
Например, точка х 0 = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2) 2 , так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.
Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.
Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производную.
Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х 0) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.
Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f "(х 0) равен нулю.
Например, функция f(х) = 1 – 3х 2 имеет в точке х 0 = 0 максимум, ее производная f "(х) = -2х, f "(0) = 0.
Функция f(х) = (х – 2) 2 + 3 имеет минимум в точке х 0 = 2, f "(х) = 2(х – 2), f "(2) = 0.
Отметим, что если f "(х 0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х 0 – это обязательно точка экстремума функции f(х).
Например, если f(х) = х 3 , то f "(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х 3 возрастает.
Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f "(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.
Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.
Таким образом, для того, чтобы точка х 0 была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.
Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.
Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.
Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.
Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.
Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.
Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х 4 – 4х 3 .
Решение.
1) Найдем производную: f "(х) = 4х 3 – 12х 2 = 4х 2 (х – 3).
2) Найдем стационарные точки: 4х 2 (х – 3) = 0, х 1 = 0, х 2 = 3.
3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f "(х) = 4х 2 (х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.
4) Так как при переходе через точку х 1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.
5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х 2 = 3. Поэтому х 2 = 3 – точка минимума.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
