Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.
Введение
Система счисления - это способ записи (представления) чисел.Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача - их посчитать. Для этого можно - загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево - один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру - палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором - композиция камней и палочек, где слева - камни, а справа - палочки
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, - на однородные и смешанные.
Непозиционная
- самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек - то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.
Позиционная система - значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления - позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 - кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 - единиц и значению 3. Как видим - чем больше разряд - тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.
Однородная система - для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд - 0, 2-й - 5, 3-й - 4), а 4F5 - нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система - в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример - система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
Непозиционные системы
Как только люди научились считать - возникла потребность записи чисел. В начале все было просто - зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления - единичная.Единичная система счисления
Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.Но эта система обладает явными неудобствами - чем больше число - тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.
Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система
В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Вот некоторые из них:Почему она называется десятичной? Как писалось выше - люди стали группировать символы. В Египте - выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ - представление числа 10 в какой-то степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:
Вавилонская шестидесятеричная система
В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин - для обозначения единиц и “лежачий” - для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:
Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения - в позиционной с основанием 60. Число 92:
Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:
Теперь число 3632 следует записывать, как:
Шестидесятеричная вавилонская система - первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени - час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система
Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления - это набор стоящих подряд цифр.Методы определения значения числа:
- Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.
1) Славянская
2) Греческая (ионийская)
Позиционные системы счисления
Как упоминалось выше - первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.Десятичная система счисления
Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас - позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503 10 .
Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.
Двоичная система счисления
Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу - сложные верёвочные сплетения и узелки.Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра - либо 0, либо 1.
Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа - 0 и 1?
Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое - единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр - группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров - это оперативная память. Число, содержащееся в регистре - машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа - достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой - по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100 2 . В восьмеричной - это 101 100 = 54 8 , а в шестнадцатеричной - 0010 1100 = 2С 16 . Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.
Восьмеричная система счисления
8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n - это номер разряда. Получается, что 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF - белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.В качестве примера возьмем число 4F5 16 . Для перевода в восьмеричную систему - сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n - номер разряда: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная
Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.
Однородные позиционные системы счисления
Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение - излишне.Смешанные системы счисления
К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q - основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:
- Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
- Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.
Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева
Перевод из одной системы счисления в другую
Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.Преобразование в десятичную систему счисления
Имеется число a 1 a 2 a 3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n - номер разряда. Таким образом, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Пример: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Преобразование из десятичной системы счисления в другие
Целая часть:- Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
- Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
- Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
- Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
15\8 = 1, остаток 7
1\8 = 0, остаток 1
Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15 10 = 17 8 .
Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
Для перевода в восьмеричную - разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n - номер разряда.В качестве примера возьмем число 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8
Для перевода в шестнадцатеричную - разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем - аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.
Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную
Перевод из восьмеричной в двоичную - преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.Для примера рассмотрим число 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Перевод из 16-ой в 2-ю - преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.
Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную
Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.
Пример: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую
Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.Пример: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.Для примера переведем 10,625 10 в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления
.
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m
запишется в двоичной системе счисления как
x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m
где a i
— двоичные цифры (0 или 1).
Восьмеричная система счисления
В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Шестнадцатеричная система счисления
В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:
10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16 .
Например, число 175 10 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF 16 . Действительно,
10·16 1 +15·16 0 =160+15=175
В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования
Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.
Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.
Пример: Преобразовать число 1101110,01 2 в восьмеричную систему счисления.
Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем
001 101 110,010 2 = 156,2 8 .
Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:
156,2 8 = 001 101 110,010 2 .
Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.
Пример: Преобразовать число 1101110,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.
Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем
0110 1110,1100 2 = 6E,C 16 .
Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом.
Арифметические основы цифровой техники.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Представление чисел в различных системах счисления.
Для преставления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позиционные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:
Здесь , , …обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа, , … - цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.
Цифре разряда приписан вес , где – основание системы счисления; – номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:
Для представления цифр разрядов используется набор из различных символов. Так, при (т.е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, …, 9. При этом запись (здесь и далее индекс и при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:
, 
Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.
В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной системе счисления представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 11011,1012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:
Весовые коэффициенты разрядов
В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2, …, 7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи в десятичной системе счисления соответствует следующее число:
, 
Весовые коэффициенты
разрядов
т.е. запись означает число, содержащее семь раз по , три раза по , пять раз по , четыре раза по , шесть раз по .
В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1, 2, …, 9, А, B, C, D, E, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствуют 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.
Запись соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:
Весовые коэффициенты разрядов
Для хранения n -разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройства, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут использовать устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.
При хранении десятичных чисел каждая цифра десятичного числа представляется в двоичной форме. Такая форма представления чисел называется двоично-кодированной десятичной системой . Например, число в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем виде:
Следует заметить, что несмотря на внешнее сходство двоично-кодированного десятичного числа, содержащего в разрядах лишь цифры 0 и 1, с двоичным числом, первое не является двоичным. В этом легко убедиться. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы , что не совпадает с целой частью исходного числа 765.
Рассмотренный способ двоичного представления (кодирования) десятичных цифр использует так называемый код 8421 (название кода составлено из весовых коэффициентов разрядов двоичного числа). Наряду с этим кодом при двоичном кодировании десятичных цифр используются различные другие коды, наиболее употребительные из которых приведены в табл. 2.1.
Восьмеричная сиситема счисления находит применение в технике в основном как средство компактной записи двоичных чисел. В прошлом была достаточно популярна, но в последнее время практически вытеснена шестнадцатеричной системой, т.к. последняя лучше ложиться на архитектуру современных цифровых устройств.
Итак, основанием системы является число восемь 8 или в восьмеричной системе 10 8 - это значит что для изображения чисел используется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7). Здесь и далее маленькое число справа внизу от основной записи числа будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание указывать не будем.
Ноль
- 0
;
Один
- 1
;
Два
- 2
;
...
и так далее…
...
Шесть
- 6
;
Семь
- 7
;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число восемь? В десятичной системе в подобной ситуации (когда закончились цифры) мы ввели понятие десятка, здесь же введем понятие "восьмерка" и скажем, что восемь - это одина восьмерка и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10 8 ".
Итак, Восемь
- 10
8 (одна восьмерка, ноль единиц)
Девять
- 11
8 (одна восьмерка, одна единица)
...
и так далее…
...
Пятнадцать
- 17
8 (одна восьмерка, семь единиц)
Шестнадцать
- 20
8 (две восьмерки, ноль единиц)
Семнадцать
- 21
8 (две восьмерки, одна единица)
...
и так далее…
...
Шестьдесят три
- 77
8 (семь восьмерок, семь единиц)
Шестьдесят четыре
- 100
8 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, ноль единиц)
Шестьдесят пять
- 101
8 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, одна единица)
Шестьдесят шесть
- 102
8 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, две единицы)
...
и так далее...
...
Всегда, когда у нас исчерпался набор цифр для отображения следующего числа, мы вводим более крупные единицы счета (т.е. считаем восьмерками, шестьдесят четверками и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.
Рассмотрим число 5372 8 записанное в восьмеричной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: пять по пятьсот двенадцать, три по шестьдесят четыре, семь восьмерок и две единицы. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
5372 8 = 5 *512+3 *64+7 *8+2 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 512, 64, 8, 1 есть не что иное, как целые степени числа восемь (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
5372 8 = 5 *8 3 +3 *8 2 +7 *8 1 +2 *8 0
Подобным образом для восьмеричной дроби (дробного числа) например: 0.572 8 (Сто пятьдесят семь пятьсот двенадцатых), про него можно сказать, что оно содержит: пять восьмых, семь шестьдесят четвертых и две пятьсот двенадцатых долей. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.572 8 = 5 *(1/8) + 7 *(1/64) + 2 *(1/512)
И здесь ряд чисел 1/8; 1/64 и 1/512 есть не что иное, как целые степени числа восемь и мы также можем записать:
0.572 8 = 5 *8 -1 + 7 *8 -2 + 2 *8 -3
Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:
752.364 = 7 *8 2 +5 *8 1 +2 *8 0 +1 *8 -1 +5 *8 -2 +9 *8 -3
Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного восьмеричного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 8 n +d n-1 8 n-1 +…+d 1 8 1 +d 0 8 0 +d -1 8 -1 +d -2 8 -2 +…+d -(m-1) 8 -(m-1) +d -m 8 -m
Где: n
- количество разрядов в целой части числа минус единица;
m
- количество разрядов в дробной части числа
d i
- цифра стоящая в i
-м разряде
Эта формула называется формулой поразрядного разложения восьмеричного числа, т.е. числа записанного в восьмеричной системе счисления. Но если в этой формуле число восемь заменить на некоторое натуральное число q , то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q :
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
С помощью этой формулы мы всегда можем вычислить значение числа записанного не только в восьмеричной системе счисления, но и в любой другой позиционной системе. О других системах счисления можно почитать на нашем сайте по следующим ссылкам.
Системы счисления. Восьмеричные и шестнадцатеричные числа
На прошлых уроках мы с Вами изучили двоичные числа: научились складывать и вычитать, умножать и делить их, а также переводить числа из двоичной в десятичную систему счисления и наоборот.
Сейчас мы рассмотрим еще две системы счисления, которые, как и двоичная, часто используются в информатике – это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Вы уже знаете, что компьютер «знает» только двоичную систему счисления. Тогда зачем же нужны системы, отличные от двоичной?
Дело в том, что в двоичной системе счисления числа записываются с большим количеством разрядов, т. е. число получается очень длинным. И записывать такие числа на бумаге или читать их на экране монитора довольно неудобно.
Поэтому кроме двоичной в информатике используют еще две вспомогательные системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Они позволяют более компактно записывать числа.
Выбор систем счисления с основаниями 8 и 16 обусловлен тем, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2: 8 = 2 3 , 16 = 2 4 . Поэтому мы с легкостью сможем преобразовывать числа из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления и наоборот.
Но для начала давайте рассмотрим алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, т. е. цифры, с помощью которых мы будем записывать числа в этих системах счисления.
Восьмеричные числа записываются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А вот алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти цифр и шести букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Давайте составим таблицу соответствия первых двадцати чисел трех систем счисления: десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.
Десятичная | ||||||||||||||||||||
Восьмеричная | ||||||||||||||||||||
Шестнадцатеричная | ||||||||||||||||||||
Десятичная | ||||||||||||||||||||
Восьмеричная | ||||||||||||||||||||
Шестнадцатеричная | ||||||||||||||||||||
Как видно из нее, чем больше основание системы счисления, тем меньше код числа. Например, число 14 в десятичной и восьмеричной системе счисления записывается с помощью двух знаков, а в шестнадцатеричной – с помощью одного.
А сейчас мы с Вами научимся переводить двоичные числа в восьмеричные и шестнадцатеричные. Например, переведем число (1101011) 2 в восьмеричное.
Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, нужно разбить его справа налево на группы по три цифры в каждой, а затем каждой группе в соответствие поставить восьмеричное число.
Разобьем число (1101011) 2 на группы по три цифры: 1, 101, 011. И поставим в соответствие восьмеричные числа, получим: 1, 5, 3. Т. е. получили число (153) 8 .
Чтобы выполнить обратное преобразование, надо в соответствие каждой цифре восьмеричного числа записать группу из трех двоичных цифр.
Итак, чтобы перевести число (153) 8 в двоичную систему счисления, записываем 001, 101, 011. Опускаем первые ведущие нули и получаем число (1101011) 2 .
Для шестнадцатеричной системы преобразование выполняется аналогично, только число разбивается справа налево на группы не по три, а по четыре двоичные цифры.
Переведем число (1101011) 2 в шестнадцатеричную систему счисления: 110, 1011. Теперь в соответствие каждой четверке цифр записываем шестнадцатеричную цифру: 6, В. Т. е. получили число (6B) 16 .
А теперь переведем полученное нами число (6В) 16 в двоичную систему счисления. Вместо каждой цифры шестнадцатеричного числа записываем четверку цифр соответствующего двоичного числа: 0110, 1011. Опускаем ведущие нули и получаем (1101011) 2 .
Теперь, если Вы хорошо усвоили материал, можете закрепить его, выполнив несложные задания. Для этого перейдите в режим тренажера. Если хотите позаниматься позже – закройте текущее окно.
Упражнение №1. Переведите в восьмеричную систему счисления число (101101) 2 .
А) (55) 8; (+)
Б) (56) 8;
В) (215) 8 ;
Г) (216) 8.
Упражнение №2. Переведите в двоичную систему счисления число (162) 8 .
А) (110011) 2;
Б) (1110010) 2; (+)
В) (110111) 2;
Г) (110101) 2.
Упражнение №3. Переведите в шестнадцатеричную систему счисления число (1010111001001101) 2 .
А) (AE4D) 16; (+)
Б) (AED) 16;
В) (A4ED) 16;
Г) (DEA) 16.
Упражнение №4. Переведите в двоичную систему счисления число (5АВ) 16 .
А) (101101011) 2 ;
Б) (1011101011) 2;
В) (10110101011) 2; (+)
Г) (10110101001) 2.
Упражнение №5. Найдите значение выражения (15) 8 + (А2) 16 , записав результат в виде двоичного числа.
А) (11101111) 2;
Б) (10111111) 2;
В) (10101111) 2; (+)
Г) (10101001) 2.
