Рассмотрим матрицу А размерности
Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определительk -го порядка. Все такие определители называютсяминорами матрицы А .
Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называетсярангом матрицы . Обозначаетсяr (A ) .
Свойства ранга матрицы:
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы m линейных уравнений сn неизвестными
Коэффициенты и свободные членысчитаются заданными. В матричной форме система имеет вид, гдеА – матрица коэффициентов системы,B - вектор-столбец свободных членов,X - вектор-столбец неизвестных.Расширенной матрицей называется матрица
Понятия совместности и определенности системы рассмотреть самостоятельно.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матриц равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственной решение.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система имеет решений.
Формулы Крамера
Дана система трех уравнений с тремя неизвестными
Основную роль играют следующие четыре определителя:
Определитель Dназывается определителем системы (1). ОпределителиD x ,D y ,D z получаются из определителяDзаменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Возможны следующие случаи.
Случай 1 (D¹0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.
Случай 2 (D=0). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система
не имеет решения, а система
имеет бесконечное число решений.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и метод Гаусса рассмотреть самостоятельно.
Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
.
Однородная система всегда совместна (), она имеетнулевое (тривиальное) решение .
Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .
Теорема 2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
Координаты точки на прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В основе метода координат лежит понятие системы координат.
Две взаимно перпендикулярные оси О х иО у , имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. ОсьО х называется осью абсцисс, осьО у – осью ординат.
В прямоугольной системе координат О ху точку М, имеющую координатых и у , обозначаютМ(х; у) , гдех – абсцисса точки, ау – её ордината.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М 1 (х 1, у 1 ) иМ 2 (х 2 ;у 2 ) . Расстояние между ними определяется по формуле:
Теорема. Для любых трех точек А(х 1 ;у 1),В(х 2 ;у 2) и С(х 3 ;у 3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М 1 М 2 и пустьМ – любая точка этого отрезка, отличная от точкиМ 2 (рис.1).
Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точкамиМ 1 (х 1 ;у 1 ) иМ 2 (х 2 ;у 2 ) в заданном отношенииλ , определяются по формулам:
При λ=1 получаем формулы для координат середины отрезка:
у М 2 (х 2 ;у 2)
М 1 (х 1 ;у 1) М(х;у)
О Р 1 Р Р 2 хOφ
рис.1 рис.2
В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρ от полюсаО (ρ –полярный радиус-вектор точки) и угломφ , образованным отрезкомОМ с полярной осьюОЕ (рис.2). Уголφ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.
Прямоугольные координаты х иу точкиМ и её полярные координатыρ иφ связаны следующими формулами
Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.
Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.
Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям , а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.
Определение. Минор (r +1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r -го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.
Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы . Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).
При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.
Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r -го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r .
При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:
Если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров
Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.
Например, дана матрица
Возьмём минор
окаймляющими будут такие миноры:
Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.
1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1 ).
2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2 ).
3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2 ).
4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка 
.
Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:
,
,
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2 ).
Пример 2. Найти ранг матрицы
Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.
Пример 3. Найти ранг матрицы
Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.
Пример 4. Найти ранг матрицы
Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.
Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)
Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:
1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;
4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;
5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.
Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .
Пусть задана некоторая матрица :
.
Выделим в этой матрице
произвольных строк и
произвольных столбцов
.
Тогда определитель
-го
порядка, составленный из элементов
матрицы
,
расположенных на пересечении выделенных
строк и столбцов, называется минором
-го
порядка матрицы
.
Определение 1.13.
Рангом матрицы
называется наибольший порядок минора
этой матрицы, отличного от нуля.
Для вычисления ранга матрицы следует рассматривать все ее миноры наименьшего порядка и, если хоть один из них отличный от нуля, переходить к рассмотрению миноров старшего порядка. Такой подход к определению ранга матрицы называется методом окаймления (или методом окаймляющих миноров).
Задача 1.4.
Методом окаймляющих
миноров определить ранг матрицы
.
.
Рассмотрим окаймление первого порядка,
например,
.
Затем перейдем к рассмотрению некоторого
окаймления второго порядка.
Например,
.
Наконец, проанализируем окаймление третьего порядка.
.
Таким образом, наивысший порядок минора,
отличного от нуля, равен 2, следовательно,
.
При решении задачи 1.4 можно заметить, что ряд окаймляющих миноров второго порядка отличны от нуля. В этой связи имеет место следующее понятие.
Определение 1.14. Базисным минором матрицы называется всякий, отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Теорема 1.2. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы.
Заметим, что строки (столбцы) матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одну из них можно представить как линейную комбинацию остальных.
Теорема 1.3. Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов матрицы и равно рангу матрицы.
Теорема 1.4.
(Необходимое и достаточное
условие равенства нулю определителя).
Для того, чтобы определитель
-го
порядка
был равен нулю, необходимо и достаточно,
чтобы его строки (столбцы) были линейно
зависимы.
Вычисление ранга матрицы, основанное на использовании его определения, является слишком громоздкой операцией. Особенно это становится существенным для матриц высоких порядков. В этой связи на практике ранг матрицы вычисляют на основании применения теорем 10.2 - 10.4, а также использования понятий эквивалентности матриц и элементарных преобразований.
Определение 1.15.
Две матрицы
и
называются эквивалентными, если их
ранги равны, т.е.
.
Если матрицы
и
эквивалентны, то отмечают
.
Теорема 1.5. Ранг матрицы не меняется от элементарных преобразований.
Будем называть элементарными
преобразованиями матрицы
любые из следующих действий над матрицей:
Замену строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;
Перестановку строк матрицы;
Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;
Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
Прибавление к элементам одной строки
соответствующих элементов другой строки
умноженных на одно и то же число
.
Следствие теоремы 1.5.
Если матрица
получена из матрицы
при помощи конечного числа элементарных
преобразований, то матрицы
и
эквивалентны.
При вычислении ранга матрицы ее следует привести при помощи конечного числа элементарных преобразований к трапециевидной форме.
Определение 1.16. Трапециевидной будем называть такую форму представления матрицы, когда в окаймляющем миноре наибольшего порядка отличного от нуля все элементы, стоящие ниже диагональных, обращаются в нуль. Например:
.
Здесь
,
элементы матрицы
обращаются в нуль. Тогда форма представления
такой матрицы будет трапециевидной.
Как правило, матрицы к трапециевидной
форме приводят при помощи алгоритма
Гаусса. Идея алгоритма Гаусса состоит
в том, что, умножая элементы первой
строки матрицы на соответствующие
множители, добиваются, чтобы все элементы
первого столбца, расположенные ниже
элемента
,
превращались бы в нуль. Затем, умножая
элементы второго столбца на соответствующие
множители, добиваются, чтобы все элементы
второго столбца, расположенные ниже
элемента
,
превращались бы в нуль. Далее поступают
аналогично.
Задача 1.5. Определить ранг матрицы путем сведения ее к трапециевидной форме.
.
Для удобства применения алгоритма Гаусса можно поменять местами первую и третью строки.
.
Очевидно, что здесь
.
Однако, для приведения результата к
более изящному виду можно далее продолжить
преобразования над столбцами.
.
>>Ранг матрицы
Ранг матрицы
Определение ранга матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r , то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка, большего чем r , равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение
Вычисление ранга матрицы с помощью миноров
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k .
Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
.
Решение.
Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М 1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M 2 = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М 2 . Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 
=
0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.
Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,
.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Пример 2 Найти ранг матрицы
А= 
и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
.
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
;
из третьей строки вычтем первую; получим матрицу
В = 
,
которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
.
