Примененного к случаю падения луча из среды, в которой свет распространяется со скоростью ν 1 в среду, где свет распространяется со скоростью ν 2 >ν 1 следует, что угол преломления больше угла падения:
Но если угол падения удовлетворяет условию:
(5.5)
то угол преломления обращается в 90°, т. е. преломленный луч скользит по границе раздела. Такой угол падения называют предельным (α пр.). При дальнейшем увеличении угла падения проникновение луча в глубь второй среды прекращается и наступает полное отражение (рис. 5.6). Строгое рассмотрение вопроса с волновой точки зрения показывает, что в действительности волна проникает во вторую среду на глубину порядка длины волны.
Полное отражение находит различные практические применения. Так как для системы стекло- воздух предельный угол α пр составляет менее 45°, то призмы, показанные на рисунке 5.7, позволяют изменять ход луча, причем на рабочей границе отражение происходит практически без потерь.
Если ввести свет в тонкую стеклянную трубку с ее торца, то, испытывая на стенках полное отражение, луч будет следовать вдоль трубки даже при сложных изгибах последней. На этом принципе работают световоды - тонкие прозрачные волокна, позволяющие проводить световой пучок по искривленному пути.
На рисунке 5.8 показан отрезок световода. Луч, входящий в световод с торца под углом падения а, встречает поверхность световода под углом γ=90°-β, где β - угол преломления. Чтобы при этом возникло полное отражение, необходимо выполнение условия:
где n - показатель преломления вещества световода. Так как треугольник ABC прямоугольный, то получается:
Следовательно,
Полагая а→90°, находим:
Таким образом, даже при почти скользящем падении луч испытывает в световоде полное отражение, если выполнено условие:
В действительности световод набирается из тонких гибких волокон с показателем преломления n 1 окруженных оболочкой с показателем преломления n 2 Изучая явление преломления, Ньютон выполнил опыт, ставший классическим: узкий пучок белого света, направленный на стеклянную призму, дал ряд цветных изображений сечения пучка - спектр. Затем спектр попадал на вторую такую же призму, повернутую на 180° вокруг горизонтальной оси. Пройдя эту призму, спектр снова собрался в единственное белое изображение сечения светового пучка. Тем самым был доказан сложный состав белого света. Из этого опыта следует, что показатель преломления зависит от длины волны (дисперсия). Рассмотрим работу призмы для монохроматического света, падающего под углом α 1 на одну из преломляющих граней прозрачной призмы (рис. 5.9) с преломляющим углом А. Из построения видно, что угол отклонения луча δ связан с преломляющим углом призмы сложным соотношением: Перепишем его в виде и исследуем на экстремум отклонение луча. Беря производную и приравнивая ее нулю, находим: Отсюда следует, что экстремальное значение угла отклонения получается прй симметричном ходе луча внутри призмы: Легко видеть, что при этом получается минимальный угол отклонения, равный: Уравнение (5.7) применяется для определения показателя преломления по углу минимального отклонения. Если призма имеет малый преломляющий угол, такой, что можно синусы заменить углами, получается наглядное соотношение: Опыт показывает, что стеклянные, призмы сильнее преломляют коротковолновую часть спектра (синие лучи), но что нет прямой простой связи между λ, и δ min . Теорию дисперсии мы рассмотрим в главе 8. Пока для нас важно ввести меру дисперсии - разность показателей преломления двух определенных длин волн (одна из них берется в красной, другая - в синей части спектра): Мера дисперсии для разных сортов стекла различна. На рисунке 5.10 изображен ход показателя преломления для двух распространенных сортов стекла: легкого - крона и тяжелого - флинта. Из чертежа видно, что меры дисперсии отличаются значительно. Это дает возможность создать весьма удобную призму прямого зрения, где свет разлагается в спектр, почти не меняя направления распространения. Эта призма делается из нескольких (до семи) призм разного стекла с несколько различными преломляющими углами (рис. 5.10, внизу). За счет различной меры дисперсии добиваются хода луча, приблизительно показанного на рисунке. В заключение отметим, что пропускание света через плоскопараллельную пластину (рис. 5.11) позволяет получить смещение луча параллельно самому себе. Значение смещения зависит от свойств пластины и от угла, падения на нее первичного луча. Разумеется, во всех рассмотренных случаях наряду с преломлением существует и отражение света. Но мы его не учитываем, так как преломление в этих вопросах считается основным явлением. Это замечание относится и к преломлению света на искривленных поверхностях различных линз. Монохроматический свет падает на грань АВ
стеклянной призмы (рис. 16.28), находящейся в воздухе, S 1 O 1 - падающий луч, \(~\alpha_1\) - угол падения, O 1 O 2 - преломленный луч, \(~\beta_1\) - угол преломления. Так как свет переходит из среды оптически менее плотной в оптически более плотную, то \(~\beta_1<\alpha_1.\) Пройдя через призму, свет падает на ее грань АС
. Здесь он снова преломляется\[~\alpha_2\] - угол падения, \(~\beta_2\) - угол преломления. На данной грани свет переходит из среды оптически более плотной в оптически менее
плотную. поэтому \(~\beta_2>\alpha_2.\) Грани ВА
и СА
, на которых происходит преломление света, называются преломляющими гранями
. Угол \(\varphi\) между преломляющими гранями называется преломляющим углом
призмы. Угол \(~\delta\), образованный направлением луча, входящего в призму, и направлением луча, выходящего из нее, называют углом отклонения
. Грань, лежащая против преломляющего угла, называется основанием призмы
. Для призмы справедливы следующие соотношения: 1) Для первой преломляющей грани закон преломления света запишется так:
\(\frac{\sin \alpha_1}{\sin \beta_1}=n,\)
где n - относительный показатель преломления вещества, из которого сделана призма. 2) Для второй грани:
\(\frac{\sin \alpha_1}{\sin \beta_1}=\frac{1}{n}.\)
3) Преломляющий угол призмы:
\(\varphi=\alpha_2 + \beta_1.\)
Угол отклонения луча призмы от первоначального направления:
\(\delta = \alpha_1 + \beta_2 - \varphi.\)
Следовательно, если оптическая плотность вещества призмы больше, чем окружающей среды, то луч света, проходящий через призму, отклоняется к ее основанию. Несложно показать, что если оптическая плотность вещества призмы меньше, чем окружающей среды, то луч света после прохождения через призму отклонится к ее вершине. Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 469-470.
24-05-2014, 15:06
Действие
очков на зрение основано на законах распространения света. Наука о законах
распространения света и образования изображений с помощью линз называется
геометрической, или лучевой, оптикой. Великий
французский математик XVII
в. Ферма
сформулировал принцип, лежащий в основе геометрической оптики: свет всегда
выбирает кратчайший по времени путь между двумя точками. Из этого принципа
следует, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно: путь луча
света из точки 81
в точку 82
представляет собой отрезок прямой.
Из этого же принципа выводятся два основных закона геометрической оптики -
отражения и преломления света. Если
на пути света встречается другая прозрачная среда, отделенная от первой гладкой
поверхностью, то луч света отчасти отражается от этой поверхности, отчасти
проходит через нее, меняя свое направление. В первом случае говорят об
отражении света, во втором - о его преломлении. Чтобы
объяснить законы отражения и преломления света, нужно ввести понятие нормали -
перпендикуляра к отражающей или преломляющей поверхности в точке падения луча.
Угол между падающим лучом и нормалью в точке падения называется углом падения,
а между нормалью и отраженным лучом - углом отражения. Закон
отражения света гласит: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с
нормалью в точке падения; угол падения равен углу отражения. На
рис. 1 показан ход луча между точками S
1
и S
2
при его отражении от поверхности А 1 А 2
.
Перенесем точку S
2
в S
2
"
, находящуюся за
отражающей поверхностью. Очевидно, линия S
1
S
2
"
будет
кратчайшей, если она прямая. Это условие выполняется, когда угол u 1 =u 1 "
и,
следовательно, u 1 = u 2
,
а также когда прямые OS 1
,ОТ
и OS 2
находятся в одной плоскости. Закон
преломления света гласит: падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости
с нормалью в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла
преломления для данных двух сред и для лучей данной длины волны есть величина постоянная. Не
приводя расчетов, можно показать, что именно эти условия обеспечивают
кратчайшее время прохождения света между двумя точками, находящимися в разных
средах (рис. 2). Закон
преломления света выражается следующей формулой: Величинаn
2,1
называется относительным показателем преломления среды 2
по отношению к среде 1
. Показатель
преломления данной среды относительно пустоты (практически к ней приравнивают
воздушную среду) называется абсолютным показателем преломления данной среды n. Относительный
показатель преломления n
2,1
связан с абсолютными показателями первой (n
1
)
и второй (n
2
)
среды отношением: Абсолютный
показатель определяется оптической плотностью среды: чем больше последняя, тем
медленнее распространяется свет в данной среде. Отсюда
второе выражение закона преломления света: синус угла падения так относится к
синусу угла преломления, как скорость света в первой среде к скорости света во
второй среде: Поскольку
свет обладает максимальной скоростью в пустоте (и в воздухе), показатель
преломления всех сред больше 1
. Так,
для воды он составляет 1,333
, для оптического
стекла разных сортов - от 1,487
до 1,806
, для органического стекла (метилметакрилата)
-1,490
, для алмаза- 2,417
. В глазу оптические среды имеют
следующие показатели преломления: роговица-1,376
,
водянистая влага и стекловидное тело -1,336
,
хрусталик -1,386
. Рассмотрим
некоторые частные случаи преломления света. Одним из простейших является
прохождение света через призму. Она представляет собой узкий клин из стекла или
другого прозрачного материала, находящийся в воздухе. На
рис. 3 показан ход лучей через призму. Она отклоняет лучи света по направлению
к основанию. Для наглядности профиль призмы выбран в виде прямоугольного
треугольника, а падающий луч параллелен его основанию. При этом преломление
луча происходит только на задней, косой грани призмы. Угол w, на который отклоняется падающий
луч, называется отклоняющим углом призмы. Он практически не зависит от
направления падающего луча: если последний не перпендикулярен грани падения, то
отклоняющий угол слагается из углов преломления на обеих гранях. Отклоняющий
угол призмы приблизительно равен произведению величины угла при ее вершине на
показатель преломления вещества призмы минус 1
: Вывод
этой формулы следует из рис. 3. Проведем перпендикуляр ко второй грани призмы в
точке падения на нее луча (штрихпунктирная линия). Он образует с падающим лучом
угол ?
. Этот угол равен углу ?
при вершине призмы, так как их
стороны взаимно перпендикулярны. Так как призма тонкая и все рассматриваемые
углы малы, можно считать их синусы приблизительно равными самим углам,
выраженным в радианах. Тогда из закона преломления света следует: В
этом выражении nстоит в знаменателе, так как свет идет из более плотной среды в менее плотную. Поменяем
местами числитель и знаменатель, а также заменим угол ?
на равный ему угол ?
: Поскольку
показатель преломления стекла, обычно применяемого для очковых линз, близок к 1,5
, отклоняющий угол призм примерно
вдвое меньше угла при их вершине. Поэтому в очках редко применяются призмы с
отклоняющим углом более 5°
; они
будут слишком толстыми и тяжелыми. В оптометрии отклоняющее действие призм
(призматическое действие) чаще измеряют не в градусах, а в призменных диоптриях
(?
) или в сантирадианах (срад).
Отклонение лучей призмой силой в 1
прдптр (1
срад) на расстоянии 1 м от
призмы составляет 1
см. Это
соответствует углу, тангенс которого равен 0,01
.
Такой угол равен 34"
(рис. 4). Это
же относится и к самому дефекту зрения, косоглазию, исправляемому призмами.
Угол косоглазия можно измерять в градусах и в призменных диоптриях. Наибольшее
значение для оптометрии имеет прохождение света через линзы. Линзой называют
тело из прозрачного материала, ограниченное двумя преломляющими поверхностями,
из которых хотя бы одна является поверхностью вращения. Рассмотрим
простейшую линзу-тонкую, ограниченную одной сферической и одной плоской поверхностью.
Такую линзу называют сферической. Она представляет собой сегмент, отпиленный от
стеклянного шара (рис. 5, а). Линия АО, соединяющая центр шара с центром линзы,
называется ее оптической осью. На разрезе такую линзу можно представить как
пирамиду, сложенную из маленьких призм с нарастающим углом при вершине (рис. 5,
б). Лучи,
входящие в линзу и параллельные ее оси, претерпевают преломление тем большее,
чем дальше они отстоят от оси. Можно показать, что все они пересекут оптическую
ось в одной точке (F
"
).
Эта точка называется фокусом линзы (точнее, задним фокусом). Такую же точку
имеет и линза с вогнутой преломляющей поверхностью, но ее фокус находится с той
же стороны, откуда входят лучи. Расстояние от фокусной точки до центра линзы
называется ее фокусным расстоянием (f
"
).
Величина, обратная фокусному расстоянию, характеризует преломляющую силу, или
рефракцию, линзы (D
): гдеD
- преломляющая сила линзы, дптр; f
"
- фокусное
расстояние, м; Преломляющая
сила линзы измеряется в диоптриях. Это основная единица в оптометрии. За 1
диоптрию (D
,
дптр) принята преломляющая сила линзы с фокусным
расстоянием 1
м. Следовательно,
линза с фокусным расстоянием 0,5
м
обладает преломляющей силой 2,0
дптр, 2
м -0,5
дптр и т. д. Преломляющая сила выпуклых линз имеет положительное
значение, вогнутых - отрицательное. Не
только лучи, параллельные оптической оси, проходя через выпуклую сферическую
линзу, сходятся в одной точке. Лучи, исходящие из любой точки слева от линзы
(не ближе фокусной), сходятся в другую точку справа от нее. Благодаря этому
сферическая линза обладает свойством формировать изображения предметов (рис.
6). Так
же как плосковыпуклые и плосковогнутые линзы, действуют линзы, ограниченные
двумя сферическими поверхностями,- двояковыпуклые, двояковогнутые и выпукло-вогнутые.
В очковой оптике применяются главным образом выпукло-вогнутые линзы, или
мениски. От того, какая поверхность имеет большую кривизну, зависит общее
действие линзы. Действие
сферических линз называют стигматическим (от греч. - точка), так как они
формируют изображение точки в пространстве в виде точки. Следующие
виды линз - цилиндрические и торические. Выпуклая цилиндрическая линза имеет
свойство собирать падающий на нее пучок параллельных лучей в линию,
параллельную оси цилиндра (рис. 7). Прямую F
1
F
2
аналогии с фокусной точкой сферической линзы называют фокальной линией. Цилиндрическая
поверхность при пересечении ее плоскостями, проходящими через оптическую ось,
образует в сечениях окружность, эллипсы и прямую. Два таких сечения называются
главными: одно проходит через ось цилиндра, другое - перпендикулярно ему. В
первом сечении образуется прямая, во втором - окружность. Соответственно в
цилиндрической линзе различают два главных сечения, или меридиана,- ось и
деятельное сечение. Нормальные лучи, падающие на ось линзы, не подвергаются
преломлению, а падающие на деятельное сечение, собираются на фокальной линии, в
точке ее пересечения с оптической осью. Более
сложной является линза с торической поверхностью, которая образуется при
вращении окружности или дуги радиусом r
вокруг оси. Радиус вращения R
не равен радиусу r
(рис. 8). Преломление
лучей торической линзой показано на рис. 9. Торическая
линза состоит как бы из двух сферических: радиус одной из них соответствует
радиусу вращаемой окружности, радиус второй - радиусу вращения. Соответственно
линза имеет два главных сечения (А 1 А 2
и В 1 В 2
).
Падающий на нее параллельный пучок лучей преобразуется в фигуру, называемую
коноидом Штурма. Вместо фокусной точки лучи собираются в два отрезка прямых,
лежащих в плоскости главных сечений. Они называются фокальными линиями -
передней (F
1
F
1
)
и задней (F
2
F
2
). Свойство
преобразовывать пучок параллельных или идущих от точки лучей в коноид Штурма
называют астигматизмом (буквально «бесточие»), а цилиндрические и торические
линзы- астигматическими линзами. Мерой астигматизма является разность преломляющей
силы в двух главных сечениях (в диоптриях). Чем больше астигматическая
разность, тем больше расстояние между фокальными линиями в коноиде Штурма. Астигматическим
действием характеризуется и любая сферическая линза, если лучи падают на нее
под большим углом к оптической оси. Это явление называют астигматизмом косого
падения (или косых пучков). В
оптометрии приходится иметь дело еще с одним видом линз- с афокальными линзами.
Афокальной называется такая линза, обе сферические поверхности которой имеют
одинаковый радиус, но одна из них вогнутая, а другая выпуклая (рис. 10, а). Такая
линза не имеет фокуса и, следовательно, не может формировать изображение. Но,
находясь на пути светового пучка, несущего изображение, она его увеличивает
(если свет идет справа налево) или уменьшает (если свет идет слева направо).
Такое действие афокальной линзы называется эйконическим (от греч. - изображение).
Чаще для этого применяют не одиночные линзы, а их системы, например телескопы.
На рис. 10, б, показана схема простейшего телескопа, состоящего из одной
отрицательной и одной положительной линзы (система Галилея). Эйконическое
действие присуще и обычным сферическим линзам: положительные линзы увеличивают,
а отрицательные - уменьшают изображение. Измеряют это действие в процентах, а
при больших увеличениях - в «крагах» (х
).
Так, лупа, увеличивающая изображение в 2
раза, называется двукратной (2х
). Таким
образом, линзы осуществляют четыре вида оптического действия: призматическое,
стигматическое, астигматическое и эйконическое. Далее будет показано, как все
они используются для коррекции дефектов зрения. Отметим,
что в большинстве случаев для линз характерно не только, то действие, для
которого они предназначены: сферическим (стигматическим) линзам присуще также и
эйконическое действие, а на периферии стекла, кроме того, призматическое и
астигматическое. Астигматические линзы характеризуются также стигматическим, призматическим
и эйконическим действием. До
сих пор речь шла об идеальных линзах, как бы не имеющих толщины (за исключением
афокальных). В оптометрии приходится иметь дело с линзами, имеющими реальную
толщину, а еще чаще с системами линз. Особый
интерес представляют центрированные системы, т. е. такие, которые состоят из
сферических линз, имеющих общую оптическую ось. Для описания таких систем и
расчета их действия применяют два способа: с введением так называемых кардинальных
точек и плоскостей; с использованием понятия сходимости лучей и вершинной
рефракции. Первый
способ, разработанный немецким математиком Гауссом, заключается в следующем. На
оптической оси системы выделяют четыре Кардинальные точки: две узловые и две
главные (рис. 11). Узловые точки - передняя и задняя (N
и N
"
)
- обладают следующим свойством: луч, входящий в переднюю точку (S 1 N
),
выходит параллельно самому себе из задней (N
’S
2
).
Их применяют при построении изображений, формируемых оптической системой. Гораздо
большее значение имеют главные точки (Н
и Н"
). Перпендикулярные к оптической
оси плоскости, проведенные через них, называются главными плоскостями -
передней и задней. Луч света, входящий в одну из них, проходит до другой
параллельно оптической оси. Иначе говоря, изображение на задней главной
плоскости повторяет изображение на передней. Все расстояния на оптической оси
отсчитывают от главных плоскостей: до объекта-от передней, до изображения - от
задней. Часто эти плоскости лежат так близко друг к другу, что приближенно
могут быть заменены одной главной плоскостью. Так,
например, в оптической системе человеческого глаза передняя главная плоскость
лежит в 1,47
мм, а задняя - в 1,75
мм от вершины роговицы. При расчетах
принимают, что обе они расположены приблизительно в 1,6
мм от этой точки. Второй
способ описания центрированных оптических систем предполагает, что пучку лучей
в каждой точке на оптической оси присуще особое свойство - сходимость. Она
определяется величиной, обратной расстоянию до точки схождения этого пучка, и
измеряется, так же как и рефракция, в диоптриях. Действие каждой преломляющей
поверхности на пути пучка- это изменение сходимости. Выпуклые поверхности
увеличивают сходимость, вогнутые - уменьшают. Сходимость параллельного пучка
лучей равна нулю. Этот
способ особенно удобен для расчета суммарной преломляющей силы системы.
Типичной сложной оптической системой является толстая линза (рис. 12), имеющая
две преломляющие поверхности и однородную среду между ними. Изменения
сходимости падающего на линзу параллельного пучка лучей определяются
преломляющей силой этих поверхностей, расстоянием между ними и показателем
преломления материала линзы. При
этом величины L
иD
измеряются в диоптриях, а d
-
b
- в метрах. Сходимость
пучка на входе в линзу L
0
= 0
. После
преломления на передней поверхности ЛИНЗЫ она становится равной L
1
=
D
1
.
При достижении задней поверхности она приобретает значение: и,
наконец, при выходе из линзы Это
выражение показывает изменение сходимости пучка при прохождении через линзу при
отсчете расстояний от ее передней поверхности. Оно называется передней
вершинной рефракцией линзы. Если рассматривать ход лучей от задней поверхности
к передней, то в знаменателе D
1
заменится на D
2
.
Выражение представляет
собой величину задней вершинной рефракции толстой линзы. Значения силы линз в
пробных наборах очковых стекол и представляют собой их задние вершинные
рефракции. Числитель
этого выражения является формулой для определения суммарной преломляющей силы
системы, состоящей из двух элементов (поверхностей или тонких линз): гдеD
- суммарная преломляющая сила
системы; D
1
и D
2
- преломляющая сила элементов системы; n
- показатель преломления среды между элементами; d
- расстояние между элементами системы. органов без хирургического вмешательства (эндоскопы), а также на производстве для освещения недоступных участков. 5. На законах преломления основан принцип действия разнообразных оптических устройств, служащих для задания световым лучам нужного направления. Для примера рассмотрим ход лучей в плоскопараллельной пластинке и в призме. 1).
Плоскопараллельная пластинка
– изготовленная из прозрачного вещества пластинка с двумя параллельными плоскими гранями.Пусть пластинка изготовлена из вещества, оптически более плотного, чем окружающая среда. Предположим, что в воздухе ( n1
=1) находится стеклянная
пластинка (n
2
>1), толщина которойd
(рис.6). Пусть луч падает на верхнюю грань этой пластинки. В точке А
он преломится и пойдет в стекле по направлениюАВ
. В точкеВ
луч снова преломится и выйдет из стекла в воздух. Докажем, что луч из пластинки выходит под тем же углом, под каким падает на нее. Для точкиА
закон преломления имеет вид: sinα/sinγ=n
2
/n
1,
и так какn
1
=1, тоn
2
= sinα/sinγ. Для точки В закон преломления следующий: sinγ/sinα1
=n
1
/n
2
=1/n
2
. Сравнение формул дает равенство sinα=sinα1
, а значит, и α=α1
.Следовательно, луч выйдет из плоскопараллельной пластинки под таким же углом, под каким на неё упал. Однако луч, вышедший из пластинки, смещен относительно падающего луча на расстояние ℓ, которое зависит от толщины пластинки, показателя преломления и угла падения луча на пластинку. Вывод
:
плоскопараллельная пластинка не меняет направление падающих на нее лучей, а лишь смешает их, если рассматривать преломленные лучи. 2).
Треугольная призма
– это выполненная из прозрачного вещества призма, сечение которой представляет собой треугольник.Пусть призма изготовлена из материала оптически более плотного, чем окружающая среда
(например, она из стекла, а вокруг – воздух). Тогда луч, упавший на её грань, преломившись, отклоняется к основанию призмы, поскольку он переходит в оптически более плотную среду и, значит, его угол падения φ1
больше угла преломления φ2
. Ход лучей в призме показан на рис.7. Угол ρ при вершине призмы, лежащий между гранями на которых преломляется луч, называется преломляющим углом призмы
; а сторона, лежащая против этого угла, - основанием призмы. Угол δ между направлениями продолжения луча, падающего на призму (АВ
) и луча (CD
) вышедшего из нее, называется углом отклонения луча призмой
– он показывает, как сильно призма изменяет направление падающих на нее лучей. Если известны угол р и показатель преломления призмыn
, то по заданному углу падения φ1
можно найти угол преломления на второй грани φ4
. В самом деле, угол φ2
определяется из закона преломления sinφ1
/sinφ2
=n
(призма из материала с показателем преломления n
помещена в воздух). В BCN
стороныВN
иCN
образованы прямыми, перпендикулярными к граням призмы, так что уголCNE
равен углу р. Поэтому φ2
+φ3
=р
, откуда φ3
=р
-φ2
становится известным. Угол φ4
определяется законом преломления:
sinφ3
/sinφ4
=1/n
. Практически часто бывает нужно решать такую задачу: зная геометрию призмы (угол р
) и определяя углы φ1
и φ4
, найти показатель преломления призмы n
. Применяя законы геометрии, получаем: угол МСВ=φ4
-φ3
, угол МВС=φ1
-φ2;
угол δ - внешний к BМC и, следовательно, равен сумме углов МВС и МСВ: δ=(φ1
-φ2
)+(φ4
-φ3
)=φ1
+φ4
-р
, где учтено равенство φ3
+φ2
=р
. Поэтому, δ = φ1
+ φ4
-р
. Следовательно, угол
отклонения луча призмой тем больше, чем больше угол падения луча и чем меньше преломляющий угол призмы.Сравнительно сложными рассуждениями можно показать, что при симметричном ходе луча
сквозь призму (луч света в призме параллелен ее основанию) δ
принимает наименьшее значение. Предположим, что преломляющий угол (тонкая призма) и угол падения луча на призму малы. Запишем законы преломления на гранях призмы: sinφ1
/sinφ2
=n
, sinφ3
/sinφ4
=1/n
. Учитывая, что для малых углов sinφ≈
tgφ≈
φ, получим: φ1
=n
φ2
, φ4
=n
φ3
. подставив φ1
и φ3
, в формулу (8) для δ получим: δ =(n
– 1)р
. Подчеркнем, что эта формула для δ верна лишь для тонкой призмы и при очень малых углах падения лучей. Принципы получения оптических изображений Геометрические принципы получения оптических изображений основываются только на законах отражения и преломления света, полностью отвлекаясь от его физической природы. При этом оптическую длину светового луча следует считать положительной, когда он проходит в направлении распространения света, и отрицательной в противоположном случае. Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точкиS
, в результате отражения и/или преломления сходится в точке S
΄, тоS
΄ считается
оптическим изображениемили просто
изображением точки S.
Изображение называется действительным,
если световые лучи действительно пересекаются в точкеS
΄. Если же в точкеS
΄ пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном распространению света, то изображение называется мнимым.
При помощи оптических приспособлений мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные. Например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действительное, получающееся на сетчатке глаза. Для примера рассмотрим получение оптических изображений с помощью 1) плоского зеркала; 2) сферического зеркала и 3) линз. 1.
Плоским зеркаломназывают
гладкую плоскую поверхность, зеркально отражающую лучи. Построение изображения в плоском зеркале можно показать с помощью следующего примера. Построим, как виден в зеркале точечный источник света
S(рис.8).
Правило построения изображения следующее. Поскольку от точечного источника можно провести разные лучи, выберем два из них - 1 и 2 и найдем точку S
΄, где эти лучи сходятся. Очевидно, что сами отраженные 1΄ и 2 ΄ лучи расходятся, сходятся лишь их продолжения (см. пунктир на рис.8). Изображение получилось не от самих лучей, а от их продолжения, и является мнимым. Простым геометрическим построением легко показать, что изображение расположено симметрично по отношению к поверхности зеркала. Вывод:
плоское зеркало дает мнимое изображение предмета, расположенное за зеркалом на таком же расстоянии от него, что и сам предмет. Если два плоских зеркала расположены под углом φ друг к другу,
то возможно получить несколько изображений источника света. 2.
Сферическим зеркаломназывается
часть сферической поверхности, зеркально отражающая свет.
Если зеркальной является внутренняя часть поверхности, то зеркало называютвогнутым,
а если наружная, товыпуклым.
На рис.9 показан ход лучей падающих параллельным пучком на вогнутое сферическое зеркало. Вершина сферического сегмента (точка D
) называетсяполюсом зеркала.
Центр сферы (точкаО
), из которой образовано зеркало, называется оптическим центром зеркала.
Прямая, проходящая через центр кривизныО
зеркала и его полюсD
, называется главной оптической осью зеркала. Применяя закон отражения света, в каждой точке падения лучей на зеркал восстанавливают перпендикуляр к поверхности зеркала (этим перпендикуляром является радиус зеркала - пунктирная линия на рис. 9) и получают ход отраженных лучей. Лучи, падающие на поверхность вогнутого зеркала параллельно главной оптической оси, после отражения собираются в одной точке F
, называемойфокусом зеркала,
а расстояние от фокуса зеркала до его полюса - фокусным расстояниемf.
Поскольку радиус сферы направлен по нормали к ее поверхности, то, по закону отражения света, фокусное расстояние сферического зеркала определяют по формуле где R
-радиус сферы (ОD
). Для построения изображения необходимо выбрать два луча и найти их пересечение. В случае вогнутого зеркала такими лучами могут быть луч, отраженный от точки D
(он идет симметрично с падающим относительно оптической оси), и луч, прошедший через фокус и отраженный зеркалом (он идет параллельно оптической оси); другая пара: луч, параллельный главной оптической оси (отражаясь, он пройдет через фокус), и луч, проходящий через оптический центр зеркала (он отразится в обратном направлении). Для примера построим изображение предмета (стрелки АВ
), если он находится от вершины зеркалаD
на расстоянии, большем радиуса зеркала (радиус зеркала равен расстоянию OD=R
). Рассмотрим чертеж, сделанный согласно описанному правилу построения изображения (рис.10). Луч 1 распространяется от точки В
до точкиD
и отражается по прямой DE
так, что уголADВ
равен углуADE
. Луч 2 от той же точкиВ
распространяется через фокус до зеркала и отражается по линииCB
"||DA
. Изображение действительное (образованное отраженными лучами, а не их продолжениями, как в плоском зеркале), перевернутое и уменьшенное. Из простых геометрических расчетов можно получить соотношение между следующими характеристиками. Если а
– расстояние от предмета до зеркала, откладываемое по главной оптической оси (на рис.10 – этоAD
),b
– расстояние от зеркала до изображения (на рис.10 - это DA
"), тоа/b
=AB/A"B"
, и тогда фокусное расстояние f
сферического зеркала определяют по формуле Величина оптической силы измеряется в диоптриях (дптр); 1 дптр = 1м-1
. 3.
Линзой называют прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями, радиус, по крайнем мере, одной из которых не должен быть бесконечным. Ход лучей в линзе зависит от радиуса кривизны линзы.
Основными характеристиками линзы являются оптический центр, фокусы, фокальные плоскости. Пусть линза ограничена двумя сферическими поверхностями, центры кривизны которых С
1
иС
2
, а вершины сферических поверхностей О
1
иО
2
. На рис.11 схематично изображена двояковыпуклая линза; толщина линзы в середине больше, чем у краев. На рис.12 схематично изображена двояковогнутая линза (в середине она тоньше, чем у краев). Для тонкой линзы считают, что О
1
О
2
<<С
1
О
2
иО
1
О
2
<<С
2
О
2
, т.е. практически точки О
1
иО
2
. слиты в одну точкуО
, которая называется оптическим центром линзы
. Прямая, проходящая через оптический центр линзы, называется оптической осью.Оптическая ось, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется
главной оптической осью
(С
1
С
2
, на рис.11 и 12). Лучи, идущие через оптический центр, не преломляются (не изменяют своего направления). Лучи, параллельные главной оптической оси двояковыпуклой линзы, после прохождения через нее пересекают главную оптическую ось в точке F
(рис.13), которая называется главным фокусом линзы, а расстояние от этой точки до линзыf
есть главное фокусное расстояние. Постройте самостоятельно ход хотя бы двух лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси (стеклянная линза расположена в воздухе, учтите это при построении), чтобы доказать, что расположенная в воздухе линза является собирающей, если она двояковыпуклая, и рассеивающей, если линза двояковогнутая. Пусть
луч падает
на одну из гранен призмы. Преломившись в точке , луч пойдет по направлению и, вторично
преломившись в точке , выйдет из призмы в воздух (рис.
189). Найдем угол , на который луч, пройдя через
призму, отклонится от первоначального направления. Этот угол мы будем называть углом
отклонения. Угол между преломляющими гранями, называемый преломляющим углом
призмы, обозначим . Рис. 189. Преломление в призме Из
четырехугольника , в котором углы при и прямые, найдем,
что угол равен
.
Пользуясь этим, из четырехугольника находим Угол , как внешний угол
в треугольнике ,
равен где - угол
преломления в точке , а - угол падения в точке луча, выходящего
из призмы. Далее, пользуясь законом преломления, имеем С
помощью полученных уравнений, зная преломляющий угол призмы и показатель преломления , мы можем при
любом угле падения вычислить угол отклонения . Особенно
простую форму получает выражение для угла отклонения в том случае, когда
преломляющий угол призмы мал, т. е. призма тонкая, а угол
падения невелик;
тогда угол также
мал. Заменяя приближенно в формулах (86.3) и (86.4) синусы углов самими углами
(в радианах), имеем Подставляя
эти выражения в формулу (86.1) и пользуясь (86.2), находим Этой
формулой, справедливой для тонкой призмы при падении на нее лучей под небольшим
углом, мы воспользуемся в дальнейшем. Обратим
внимание, что угол отклонения луча в призме зависит от показателя преломления
вещества, из которого сделана призма. Как мы указывали выше, показатель
преломления для разных цветов света различен (дисперсия). Для прозрачных тел
показатель преломления фиолетовых лучей наибольший, затем следуют лучи синие,
голубые, зеленые, желтые, оранжевые, и, наконец, красные, которые имеют
наименьший показатель преломления. В соответствии с этим угол отклонения для фиолетовых
лучей наибольший, для красных - наименьший, и луч белого цвета, падающий на
призму, по выходе из нее окажется разложенным на ряд цветных лучей (рис. 190 и
рис. I на цветном форзаце), т. е.
образуется спектр лучей. Рис. 190. Разложение белого света при
преломлении в призме. Падающий пучок белого света изображен в виде фронта с
перпендикулярным к нему направлением распространения волны. Для преломленных
пучков показана только направления распространения волн 18.
Поместив экран позади куска картона,
в котором проделано маленькое отверстие, можно получить на этом экране изображение
источники. При каких
условиях изображение на экране будет отчетливое? Объясните, почему изображение получается
перевернутым? 19.
Докажите, что пучок параллельных лучей остается таким
же после отражения от плоского зеркала Рис. 191. К упражнению 27. Если чашка пустая,
глаз не видит монеты (а), если же чашка наполнена водой, то монета видна (б).
Палка, погруженная одним концом в воду, кажется сломанной (в). Мираж в пустыне
(г). Как рыба видит дерево и ныряльщика (д) 20.
Чему равен угол падения луча, если
луч падающий и луч отраженны» образуют угол ? 21.
Чему равен угол падения луча, если луч отраженный и луч
преломленный образуют угол ? Показатель преломления второй среды
относительно первой равен . 22.
Докажете обратимость направления
световых лучей для случая отражения света. 23.
Можно ли придумать такую систему зеркал и призм
(линз) через которую один наблюдатель видел бы второго наблюдателя, а второй
наблюдатель не видел бы первого? 24.
Показатель преломления стекла
относительно воды равен 1,182:
показатель преломления глицерина относительно воды равен 1.105. Найдите
показатель преломления стекла относительно глицерина. 25.
Найдите предельный угол полного внутреннего
отражения для алмаза на границе с водой. 26.
найдите смещение луча при
прохождении его через плоскопараллельную пластинку из стекла с показателем
преломления, равным 1,55, если угол падения , а толщина пластинки равна 27.
Пользуясь законами преломления и отражения,
объясните явления, показанные
на рис. 191
(5.7)
(5.8)
Литература
Описание
ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
ХОД ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ
ХОД ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ЛИНЗУ
СЛОЖНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Примем следующие обозначения:
.
